Октябрь 2017
 
Email

Отчаянный ковбой Мандельброт

 
Опубликовано 30.08.2010
 
 

Бенуа Мандельброт скончался 14 октября 2010 года в Кембридже (Массачусетс, США), в возрасте 85 лет. Статья была написана за два года до его смерти.

У Бенуа Мандельброта благодатная старость.Он добился всего, чего может желать математик: созданная им теория получила широкое признание у ученых и нашла применение в прикладных науках. Но покоя он не ищет и по-прежнему очень деятелен. В мае 2004 года, в свои 80 лет, он в качестве почетного гостя был приглашен на всемирный конгресс сейсмологов, целиком посвященный той роли, которую играет в этой науке основанная им отрасль исследований − фрактальная геометрия. Правда, держался он несколько отстраненно и в перерывах предпочитал общество осаждавших его журналистов. Близкие люди говорят, что Мандельброт не очень любит дискуссии, ему больше нравится самому направлять беседу. Сидя за столиком кафе под тенистой липой он рассказывал осаждавшим его журналистам о своей жизни – как он пережил войну, как завоевывал все новые научные области, как, несмотря на глухое сопротивление научной среды, сумел отстоять свои идеи.

Детство Бенуа Мандельброта прошло в Варшаве. Школу он посещал нерегулярно: слишком заботливая мать боялась, что ребенок подхватит инфекцию, и подолгу держала его дома. В 1936 году – ему тогда было 12 лет – еврейская семья бежит от нацистской угрозы в Париж. В начале войны им снова приходится спасаться от фашистов – теперь на юге Франции. Во время всех этих переездов юноша увлекался подробным изучением формы разных растений и деревьев – с геометрической точки зрения… В 1944 году, сразу после ухода немцев он прямо-таки с помпой поступает в знаменитое на весь мир высшее учебное заведение, Парижскую политехническую школу. «Задача, которая была поставлена на вступительных экзаменах, легко решалось, стоило перейти от прямоугольных координат к сферическим, но во всей Франции я был единственным соискателем, который тогда это понимал», − вспоминает Мандельброт. Благодаря своему редкому дару пространственного воображения, он осознал, что может решать многие алгебраические задачи геометрическим методом.

Вскоре сверходаренный молодой человек оказывается в американском городе Йорктаун-Хейтс, в легендарном Исследовательском центре Томаса Уотсона фирмы IBM. Здесь, блестяще проявив себя в проекте, позволившем радикально повысить эффективность вычислительных интегральных схем, он получил высший статус – исследователя-стипендиата (IBM Fellow) и вместе с ним – доступ к огромным вычислительным мощностям и полную свободу действий. «В IBM я мог работать, как поэт в саду», − так он характеризует это время. Привилегированный статус сохраняется за Мандельбротом, давно вышедшим на пенсию, по сей день, здесь у него свой кабинет и личный секретарь, он почти ежедневно посещает свое рабочее место, встречается с молодыми учеными, участвует в пятничных чаепитиях.

Именно здесь благодаря неограниченной свободе и техническому обеспечению Мандельброт разработал теорию, которая сделала его имя культовым в математической среде − фрактальную геометрию. Как известно, традиционная евклидова геометрия имеет дело с пространствами целочисленной размерности. Не так в геометрии Мандельброта. Поясним это на примере. Возьмем евклидову кривую размерности 1 и будем непрерывно ее увеличивать, тогда каждый отдельный ее участок будет все больше походить на отрезок прямой. Совсем иначе дело обстоит с кривыми, которые можно условно сравнить с береговыми линиями. Космонавту или летчику они представляются плавными и округлыми. Но по мере приближения к земле все яснее становятся видны их мелкие извивы, бухты и мысы, устья рек и косы, прибрежные выступы скал и т.д. И вот что еще можно заметить: контур каждого участка такого побережья напоминает общий вид всей береговой линии. Именно такое подобие каждой части всему целому, т.е. самоподобие кривых и фигур лежит в основе фрактальной геометрии. В природе мы постоянно наблюдаем частично фрактальные структуры: помимо изрезанной линии берега это, к примеру, цветная капуста, многие деревья, растения и т.д. Но в природных объектах части и части частей примерно повторяют целое лишь в ограниченном диапазоне, самоподобие повторяется лишь несколько раз, в математике же любая часть фрактального объекта вплоть до бесконечно малых точно копирует целое. Сколько бы мы ни уменьшали масштаб рисунка, как бы погружаясь с помощью микроскопа в его поры, все тот же контур будет повторяться снова и снова.

И тут оказывается, что обычное понятие целочисленной размерности не подходит к фрактальным объектам. Действительно, «обычную» евклидову кривую можно измерить, скажем, в метрах. Количество сантиметров в ней будет в 100 раз больше, миллиметров – еще в десять раз больше. Но фрактальную кривую так не измеришь. В каждом ее миллиметре, микроне и т.д. содержится точно такая же кривая… Положение точки на этой кривой одним числом не задашь. Размерность фрактальной линии, конечно, больше единицы, но и до двойки она «не дотягивает». Значит, ее размерность – дробная, причем Мандельброт предложил логарифмическую формулу для исчисления фрактальных размерностей. Эта характеристика отражает уровень сложности кривой или фрактального тела. Так, по формуле Мандельброта, береговая линия Британии имеет размерность 1,26, она несколько более изрезана, чем извилистый контур острова Рюген в Балтийском море (1,13) и «мягче» норвежского берега (1,52). Аналогично могут быть классифицированы поверхности: поверхность головного мозга – 2,79, облака – в среднем 2,35. Фрактальная геометрия позволила увидеть многие научные проблемы в новом свете и снабдила ученых более совершенными исследовательскими инструментами. Инженеры в области гидро- и аэродинамики гораздо глубже смогли понять процесс возникновения турбулентностей, космологи – физику звездных скоплений, биологи математически моделировали циклы популяций, медики обнаружили закономерности в нарушениях сердечного ритма.

Между тем поначалу многие специалисты отказывались признать прикладную пользу фрактальной геометрии. Слова, как говорится, не помогали. И тогда Мандельброт решил сменить методы убеждения. В начале 1970 годов он начал пропагандировать фрактальную геометрию с помощью компьютеров. «Когда я стал демонстрировать свои идеи с помощью графики, мои коллеги буквально онемели», − говорит он. Захвачены оказались не только специалисты, но и многочисленные любители, молодежь, художники: через несколько лет после появления персонального компьютера, увлечение фрактальными построениями стало почти повальным, даже допотопный игольчатый принтер выдавал на бумаге впечатляющие результаты.

Одно из порождений фрактальной геометрии, «множества Мандельброта», принесли ее творцу всемирную известность.

 
 
Внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур; самая большая в центре представляет кардио́иду (от греч. καρδία «сердце» и εἶδος «вид»; это плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом; получила свое название из-за схожести со стилизованным изображением сердца). При увеличении видно, что в дополнительных «ветках» есть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой

Речь идет о некоем рекурсивном множестве точек, имеющем фрактальные свойства, которое оказалось чрезвычайно плодотворной, по сути, интердисциплинарной моделью для самых разных областей знания. С ее помощью стало возможно просчитывать поведение и развитие физического хаоса, исследовать важные аспекты взаимоотношений индивида и общества. Интернет кишит программами, порождающими множества Мандельброта в виде узоров, которые почему-то называются «яблочными человечками». Этих человечков молодежь печатает на своих майках.

Сам Мандельброт всегда принимает активное участие в популяризации своих идей. После 1975 года вышло более ста его статей по самым разным темам вплоть до финансовых рынков. Самая знаменитая его работа «Фрактальная геометрия природы» (1982) была продана в количестве полумиллиона экземпляров. Его последнее произведение «(Плохое) поведение рынков», давшая новое объяснение «броуновскому» поведению рыночных игроков на основе фрактального подхода, получила приз на Франкфуртской ярмарке 2004 года как лучшая научная книга. А пока экономисты обсуждают практическую применимость фракталов в экономике, Мандельброт выдал в свет новую идею – отрицательной размерности. До сих пор считалось, что наименьшей размерностью, нулевой, обладает пустое множество. Мандельброту удалось нащупать класс множеств, если можно так выразиться, еще более пустых…

Между тем бум вокруг фрактальных множеств начинает понемногу стихать. Фрактальные методы сжатия видеофайлов оказались не самыми эффективными, так называемые фрактальные антенны пока не получили широкого распространения. Всякое сомнение в действенности фрактального метода Мандельброт встречает с негодованием. Его задиристость порой переходит всякие границы. Ссора во время научной конференции с физиком из Бостонского университета Джином Стэнли, осмелившимся ему противоречить, едва не перешла в драку – пришлось прервать заседание. Поведенческим идеалом воинственного Мандельброта является герой американского телесериала 50-х годов, отчаянный ковбой Брет Маверик, меткий стрелок и нарушитель всех и всяческих норм, покоритель Дикого Запада. «Я − Маверик», − так и заявляет Бенуа Мандельброт. Только Дикий Запад для него − не американский штат Техас, а наука.

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
© "YOS" 2010-2011
ИНТМЕДИА