Апрель 2017
 
Email

Начало математики

 
Опубликовано 28.06.2010
 
 

Старейшая археологическая находка − свидетельство использования человеком чисел относятся к третьему тысячелетию до нашей эры. Это обнаруженная на территории Чехословакии лучевая кость молодого волка, на которую нанесено 55 зарубок −  по-видимому, число каких-то охотничьих трофеев. Первые известные нам связные математические тексты − клинописью, на глиняных дощечках − были составлены вавилонянами. Среди полумиллиона сохранившихся глиняных табличек, относящихся к периоду от ХХХ до I века до н.э., примерно 150 табличек можно назвать математическими. Это тексты учебного характера, нечто вроде задачников по математике, числовые таблицы, хозяйственные записи. Вавилонская математика находилась на довольно высоком практическом уровне, вавилоняне знали, например, теорему о квадратах сторон прямоугольного треугольника, которую традиция ошибочно связывает с именем Пифагора. Тем не менее математика в Вавилоне играла лишь служебную,  подчиненную роль.

 
 
Кость бабуина из Ишанго (Конго), на которой выбиты группы простых чисел. 18000–20000 до н.э. Королевский бельгийский институт естественных наук, Брюссель

Последовательно развивать математическую теорию впервые стали греки. В античной Греции математика имела очень высокий общественный статус. Центральное место в ней занимала геометрия. Фалес Милетский сформулировал и доказал первые теоремы, которые выражали простые геометрические истины, например: «Диаметр делит круг на две равные части». Он попытался свести все доступные ему геометрические утверждения к нескольким самым простым и основным, предвосхитив этим аксиоматический метод в геометрии.

Позднее Евклид написал свой эпохальный труд «Начала», на многие века определивший структуру математической мысли. Евклид логически строго вывел из небольшого числа самоочевидных утверждений – аксиом – более 400 сложных положений – теорем. Кроме того, он ввел определения некоторых геометрических объектов – точки, прямой и т.д. Логика евклидовой мысли, сводившаяся к цепочке: «определение – утверждение – доказательство», закрепилась в математике навсегда.

Греки понимали числа как длины отрезков и отношения между ними. Отношение по-гречески – ratio, отсюда происходит наш термин рациональные числа – т.е. такие, которые можно представить в виде отношения двух целых чисел. Открытие иррациональных чисел по традиции приписывается Гиппасу из Метапонта. Гиппас принадлежал к закрытому религиозно-мистическому обществу пифагорейцев. Учение пифагорейцев придавало числам высшее, религиозное значение. «Все вещи суть числа», − таково было пророческое вúдение самого Пифагора (VI век). Пифагор и его преданные ученики считали, что мир объясняется исключительно с помощью целых и рациональных чисел, разгорелись нешуточные страсти. Открытие Гиппаса повергло пифагорейцев в настоящий шок. Он был изгнан из общины. Передают, что бывшие единоверцы пытались мистически навредить Гиппасу, устроив ему символическое погребение. Вскоре Гиппас погиб при  кораблекрушении. Мифы часто бывают интереснее истории: в последнее время некоторые ученые подвергают сомнению исключительную приверженность Пифагора рациональным числам, а конфликт между ним и Гиппасом видят в разнице их политических мировоззрений: Пифагор считал, что высшее знание должно быть тайным и недоступным для непосвященных, а Гиппас придерживался более демократических взглядов и разглашал научные истины.

 
 
Пифагор Самосский. Римская копия с греческого оригинала. Капитолийский музей, Рим

Слава Пифагора как практического математика сильно преувеличена. Ему, как тайновидцу, философу и главе мистического культа приписывались некоторые более ранние и поздние научные достижения. Известный философ и историк философии Бертран Рассел видит великое достижение Пифагора в другом – в том, что он сам и созданное им мистическое движение в качестве  высшей жизненной ценности утвердило «теорию», или, как понимали это слово греки, – «страстное заинтересованное созерцание». Образцом такого аристократического созерцания было состояние зрителя, наблюдающего за ходом Олимпийских игр, а также – состояние математика, приобщенного к высшим численным законам.

Пифагор экспериментально изучал соотношения между высотой звучания струны и ее длиной. Он прочно связал в сознании потомков математику с музыкой и астрономией. По свидетельству Аристотеля, пифагорейцы выразили в числах «свойства и отношения музыкальной гармонии». Говорят, что сам Пифагор мог физически слышать «музыку сфер», т.е. гармонические звуки, издаваемые при вращении небесными телами.

Средние века оказались почти бесплодными для математики. Значительных научных достижений и открытий в это время не состоялось, и лишь с расцветом итальянских торговых городов в XIII-XIV вв. математика снова получила импульс для развития. Классические труды древних греков были привезены в Европу арабскими завоевателями. Математика сначала исполняла служебные функции – использовалась для счета и ведения бухгалтерии.

 
 
Неизвестный художник. Портрет Иоганна Кеплера. Копия с оригинала 1610 года. Монастырь Гёттвайг, Кремс, Австрия

Идеи и представления античной математики были возрождены Иоганном Кеплером в начале XVII века. От Пифагора и пифагорейцев через Платона ему передалась глубокая убежденность в том, что  природа сотворена по законам гармонии. Вдохновляясь пифагорейской «музыкой сфер», Кеплер вывел третий из своих великих астрономических законов, связывающий период обращения планет вокруг Солнца с их расстоянием до него. Речь в данном случае идет именно о вдохновении, поскольку в трудах Кеплера блестящие математические открытия соседствуют с восторженными хвалами мудрости Творца и красоте вселенной, а в процессе доказательства абсолютно научные аргументы сочетаются с доводами чисто эстетического и музыкального характера. После смерти Кеплера в 1630 году его работы были надолго забыты. Декарт и Галилей ими пренебрегли. Лишь в конце XVII века их по достоинству оценил Ньютон и, «очистив» от  возвышенной риторики, использовал для вывода своих уравнений небесной механики.  

На рубеже XVII–XVIII веков Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга открыли принципы дифференциального и интегрального исчисления. Ньютону исчисление бесконечно малых (дифференциалов) понадобилось для развития его физической теории, которую он описал в своей главной книге «Математические начала натуральной философии».

В XIX веке математическое мировоззрение обогатилось открытием неевклидовой геометрии, точнее – геометрий. Построение этих новых геометрических миров стало возможным благодаря пересмотру одной-единственной евклидовой аксиомы – о том, что параллельные прямые не пересекаются, – издавна вызывавшей сомнения математиков. Позднее, в ХХ веке выяснилось, что неевклидова геометрия является наиболее адекватным средством для описания физического пространства нашей Вселенной, обнаружившего «неевклидовы» свойства.
Во второй половине позапрошлого века Георг Кантор

 
 
Немецкий математик Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор. 1860-е. Гамбургский университет

положил основание новой математической отрасли – теории множеств. Поначалу казалось, что этот теоретический прорыв поможет глубже продумать основы математики и осознать ее как единое целое, на деле же вышло по-иному – были выявлены ее фундаментальные противоречия, затронувшие в первую очередь именно теорию множеств.

В математике разразился серьезный мировоззренческий кризис.

При подготовке этого материала были использованы сайты
http://www.hirnwindungen.de/mathe/hirn_philo_math.html
http://www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/istmat1.djvu

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
© "YOS" 2010-2011
ИНТМЕДИА