Сентябрь 2017
 
Email

Философия и математика. Драма идей

 
Опубликовано 28.06.2010
 
 

Философское мировоззрение математика нередко определяет научные выводы, к которым он приходит. Чтобы проследить эту связь в области фундаментальной математики, обратимся к так называемой континуум-гипотезе Георга Кантора. Проследим, как по-разному решают проблему континуума приверженцы разных философских школ.

 
 
Георг Кантор с женой Валли Гуттманн. Ок 1880
В конце XIX века Кантор разработал всеобщую концепцию математики – теорию множеств. Новаторский подход Кантора вызвал острую дискуссию в математическом сообщества. Успех этой теории объяснялся чрезвычайной простотой и изяществом ее исходных положений, а также универсальностью ее языка, который позволил заново описать и логически вывести из теоретико-множественных понятий, например, всю арифметику и геометрию. Родство с теорией множеств обнаружили даже такие, казалось бы, далекие от нее и друг от друга науки, как топология и логика. Попробуем разобраться, почему же она вызвала сопротивление многих коллег Кантора.

Все существующие множества можно изначально разделить на конечные и бесконечные. «Мощность» конечного множества Кантор определил как число его элементов. Разные конечные множества можно сравнивать по этому показателю. Что же касается бесконечных множеств, Кантор показал, что их мощности тоже могут различаться, хотя они и не имеют численных выражений. Мощность множества натуральных чисел он обозначил символом X0. Далее устанавливается так называемое взаимно-однозначное соответствие (биекция) между множествами. Смысл этого действия таков: если удается указать правило, по которому каждому элементу множества А соответствует ровно один элемент множества В и при этом ни один элемент множества В не остается без «пары» во множестве А, значит, между множествами А и В установлено взаимно-однозначное соответствие. В этом случае мощность двух множеств одинакова (они равномощны). Все множества, которые можно взаимно-однозначно сопоставить с множеством натуральных чисел (иначе говоря, пронумеровать их элементы: 1, 2, 3 … ), имеют одинаковую мощность X0. Таково, например, множество всех положительных четных чисел. Действительно, сопоставим каждому четному числу вида 2n натуральное число n. Как нетрудно видеть, это сопоставление – взаимно-однозначное, поскольку оно не оставляет без «пары» ни один элемент из обоих множеств. Путем несложного упорядочивания всех рациональных чисел (т.е. чисел вида p/q, где p и q – целые) их тоже можно пронумеровать натуральными числами. Значит, условно выражаясь, четных чисел «столько же», сколько натуральных. И столько же на свете существует рациональных чисел. Мощности этих трех множеств (и, разумеется, бесконечного числа других бесконечных множеств) одинаковы и равны X0. Такие множества называются счетными.

Попробуем теперь составить какое-то мнение о мощности континуума, т.е. множества всех действительных чисел, расположенных, скажем, на интервале (0,1). Представим эти числа в виде десятичных дробей. Конечные десятичные дроби для единообразия обозначим последовательностью цифр с бесконечным числом нулей (например, 0,25 = 0,2500000000….); если дробь заканчивается девятью в периоде, заменим ее эквивалентной записью с нулями (так, вместо 0,39999999… напишем 0,4000000…). Предположим теперь, что нам удалось упорядочить все эти десятичные дроби и расположить их в виде пронумерованного списка, иначе говоря, что действительные числа образуют счетное множество.  Докажем теперь, что наше предположение невыполнимо. Для этого сконструируем действительное число y, которое не может принадлежать нашему списку, как бы мы его ни составили. В записи числа y на позиции целых будет стоять 0, поскольку мы рассматриваем только числа, меньшие единицы. На первой позиции после запятой (десятые доли) поставим любую из десяти цифр, не совпадающую с первой цифрой первого числа в списке. На второй позиции (сотые доли) – также любую цифру, не совпадающую с цифрой второй позиции второго числа. На n-ой позиции – цифру, не совпадающую с цифрой n-ой позиции n-го числа – и т.д. Получается, что число y не совпадает с любым – n-м – числом нашего списка по меньшей мере в одной позиции – n-ой! Значит, оно не вошло в наш список. Итак, соответствия между счетным и континуальным множеством установить невозможно, мощность континуума – обозначим ее X1 – «больше», чем X0, хотя, повторим еще раз, точного числового выражения эти величины не имеют. Есть ли на свете множества «промежуточные» между счетным и континуальным?

В 1877 году Кантор выдвинул континуум-гипотезу, согласно которой никакой другой мощности в пределах от X0 до  X1 существовать не может. К.Ф.Гёдель и П.Дж.Коэн показали, что средствами формальной теории множеств ни подтвердить эту гипотезу (Гёдель, 1937), ни опровергнуть ее (Коэн, 1964) невозможно.

 
 
Курт Гёдель и Альберт Эйнштейн в Принстоне. 1950-е. Институт высших исследований, Принстон

О том, что при обращении с бесконечностью интуиция нередко обманывает нас, свидетельствует следующий пример. Мощность множества точек, расположенных на отрезке [0,1], равна мощности множества всех точек квадрата с длиной стороны 1. Чтобы доказать это, установим взаимно-однозначное соответствие между этими множествами. Каждая точка P квадрата обладает координатами (0,abcdef…, 0,ABCDEF…) Сопоставим ей на единичном отрезке точку с координатой 0,aAbBcCdD… И обратно: точке на единичном отрезке с координатой 0,abcdefghi… сопоставим точку квадрата с координатами (0,acegi…, 0,bdfh…). Это отображение очевидным образом взаимно-однозначно. Итак, два рассматриваемые множества равномощны, хотя они соответствуют фигурам разной размерности. У многих людей на хватает воображения, чтобы смириться с этим фактом и многими ему подобными. Кантор, который впервые доказал это положение, писал знаменитому математику Дедекинду: «Я вижу это, но я в это не верю».

Как относятся к континуум-гипотезе Кантора математики с разными философскими взглядами? Платоник признает, что имеющихся в нашем распоряжении средств, т.е. набора принятых аксиом, недостаточно, чтобы решить, существует ли в промежутке между X0 и X1 еще какая-то величина. Мы еще слишком плохо знаем природу действительных чисел, говорит он, чтобы найти ответ на этот вопрос. Формалист не принимает этой логики. Никаких действительных чисел, кроме тех, что мы определили с помощью аксиом, нет и быть не может. Новые математические объекты можно создать с помощью новых аксиом. Бессмысленно вести речь о познании действительности, о согласовании ее с математической теорией, поскольку действительности как таковой не существует. Наконец, конструктивист вообще не признает подобных разговоров о бесконечных множествах: они не имеют никакого математического смысла и являются пустой тратой времени, поскольку математик может заниматься только теми объектами, которые можно вычислить или построить с помощью натуральных чисел за конечное число шагов.

Имеет смысл прояснить позицию конструктивистов – и прежде всего их главы Л.Э.Я.Брауэра – с помощью одного примера. Рассмотрим известное число p = 3,141592653589793… Коренное несовпадение позиций Кантора и Брауэра сводится к различному пониманию многоточия в конце этой записи. Для Кантора эти три точки – символ всей совокупности остальных цифр, входящих в запись числа p, для Брауэра они лишь указывают на то, что мы можем вычислить цифру, стоящую на любой позиции после запятой.

 
 
Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр. 1950-е
Кантор верил − именно верил, другого слова здесь не подберешь − в существование так называемой актуальной бесконечности, т.е. в то, что математическая бесконечность реально существует и актуально присутствует, что она постижима, подлежит различным математическим операциям и непосредственно ведет человека к познанию Бога. Подавляющему большинству его современников, и прежде всего Брауэру, этот подход был совершенно чужд. Кантор постулирует изначальное существование этой бесконечной цепочки цифр: когда мы их вычисляем, то лишь открываем для себя определенную часть этой последовательности. Брауэр вообще отказывается рассуждать о «всех» цифрах этой цепочки, он допускает лишь возможность вычислить любую из них. Воспроизведем его поистине виртуозную аргументацию.

Отстаивая свою точку зрения, Брауэр предлагает рассмотреть некую искусственную десятичную дробь y, сконструированную следующим образом. На позиции единиц (первая цифра до запятой) стоит 0. Остальной ряд цифр числа y строится в соотнесении с числом p: если на первом месте после запятой в записи p стоит 7, то в первой позиции ряда y ставим 9, в противоположном случае – 0. Если второе и третье место в p занимают семерки, то на второе место в этом ряду снова ставим 9, если нет – ставим 0. Общее правило: если в записи числа p на n-ом месте начинается последовательность, состоящая из n семерок, то на n-ое место y ставим 9, иначе – 0. Очевидно, что при таком построении, скажем, первые 27 цифр, аппроксимирующие число y, будут нулями: y = 0,00000000000000000000000000… Поскольку мы с огромной вероятностью, практически «наверняка», никогда не сможем предсказать появления на n-ом месте в записи p серии из n семерок, то единственной возможностью составить представление о числе y остается последовательное вычисление его цифр. Нечего и говорить, что процедура эта невообразимо трудоемкая и долгая. И опять-таки с весьма высокой вероятностью, практически не отличимой от единицы, мы снова и снова будем получать одни нули, все более укрепляясь во мнении, что y, «скорее всего» равно нулю. Если же, паче чаяния, на каком-нибудь восьмитриллионном месте мы вдруг обнаружим восемь триллионов идущих подряд семерок, этим будет доказано, что y отличается от нуля. К чему же ведут эти рассуждения? Для Брауэра они – прямое доказательство неприменимости обычных логических законов – и прежде всего закона исключенного третьего – к бесконечным объектам. Ведь из ложности утверждения: «бесконечная десятичная дробь y равна нулю» отнюдь не следует, что y не равна 0. Латинская поговорка tertium non datur, «третьего не дано» к бесконечным множествам не применима.

Спор между Брауэром и Кантором, разумеется, неразрешим. Каждый из этих великих математиков до конца шел своим путем, невероятно обогатил науку и имеет своих убежденных сторонников. Но как бы то ни было, при жизни Кантор остро переживал негативное отношение современников к его теории актуальной бесконечности.

 
 
Математическое сообщество: первый коллоквиум Эдинбургского математического общества в Сент-Эндрюсе, Шотландия. 1913 год (в первом ряду в центре – Давид Гильберт)
Два последних десятилетия своей жизни он не занимался наукой, страдал тяжелой депрессией и в 1918 году скончался в психиатрической лечебнице.
 
 
Математическое сообщество: шестой коллоквиум Эдинбургского математического общества в Сент-Эндрюсе, Шотландия. 1951 год (во втором ряду в центре, со скрещенными руками – профессор Л.Э.Я. Брауэр)

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
© "YOS" 2010-2011
ИНТМЕДИА