Август 2017
 
Email

Три школы: формализм, платонизм, конструктивизм

 
Опубликовано 28.06.2010
 
 
В начале ХХ века в математике сформировалось – и в известном смысле существуют до сих пор − три направления, которые соответствуют трем разным философским воззрениям. Ученые всех трех школ с большим жаром отстаивали свои позиции. Ведущим представителем формализма был Давид Гильберт, самый знаменитый математик своего времени. Формалисты развивали математику как чистую и самодостаточную игру с аксиомами. Математика – творение человека, говорили они, и аксиомы, конечно, тоже придуманы человеком. Формалисты готовы всерьез обсуждать лишь аксиомы – единственные объекты, которые они считают строго определенными. Такие слова, как «точка» или «число», сами по себе ничего не означают, и незачем сопоставлять с ними какие-то зрительные или реальные образы. Математические понятия суть лишь слова, или «словесные оболочки» и отграничены друг от друга лишь благодаря принятым аксиомам. Интуитивное наполнение этих понятий вещественным смыслом бесполезно, интуиции вообще нечего делать в математике. Конечно, при написании своего главного труда «Основания геометрии» Гильберт вкладывал в слово «точка» то же зрительное представление, что и мы, и тем не менее все доказательства в этой книге строились исключительно на аксиомах. В сущности Гильберт с помощью абстрактной математики укрепил нашу уверенность в том, что в основных вопросах геометрии, да и других наук, интуиция нас почти не обманывает. И все же, согласно такой позиции, замечательные успехи прикладных математических методов в сфере естественных наук саму суть математики никак не затрагивают.
 
 
Давид Гильберт, быть может последний математик-универсал, в 1910-1920-е годы самый авторитетный и прославленный ученый в своей области. 1912

Будучи великим ученым и «математическим стратегом», Гильберт разработал программу магистрального развития математики. Целью этой программы было создание метаматематики (образно выражаясь, сверхматематики), т.е. полной и непротиворечивой  аксиоматической системы, из которой можно было бы вывести всю остальную математику. Этот замысел Гильберту удалось воплотить применительно к геометрии, в целом же всеобъемлющий Гильбертовский проект потерпел крушение – и, как позднее показал Курт Гёдель, это произошло вполне закономерно…

Большинство математиков по своим убеждениям – явные и «стихийные» платоники. Платон говорил, что где-то существуют надмирные и незыблемые идеи всех земных предметов и сущностей: идея добра, идея прекрасного, уродливого, идея человека и т.д. Для нашего восприятия идеи вещей непостижимы: мы лишь угадываем их по зыбким теням, отбрасываемым ими на наш мир. Платоники твердо верят в существование идей числа, точки, бесконечности и т.д. – идей, которые не зависят от нас (ср. с мнением формалистов!) и которые мы постепенно познаем в ходе истории.

Всякого рода математические структуры существуют лишь в «третьей реальности» (первые две – это реальность окружающего мира и реальность нашей человеческой математики). Аксиомы же суть средство познания и описания этой единственно достоверной «третьей реальности» − огромного мира плоскостей, функций, простых чисел, бесконечности и прочих математических предметов в их подлинном, «идеальном» плане. Научного доказательства того, что математика как-то связана с окружающим нас реальным миром и правильно его описывает, для платоников не существует.

 
 
Годфри Гарольд Харди, выдающийся английский математик, утверждавший, что математика была не создана, а обнаружена. 1927

Человеку остается лишь принимать это положение как философскую догму.

Конструктивисты (по-другому – интуитивисты) имеют много общего с платониками. Некоторые даже называют их «наполовину платониками», потому что они, так сказать, допустили в «третью реальность» только идею натуральных чисел. «Идеи» остальных математических конструкций они считают недостаточно достоверными и отталкиваются в своих построениях лишь от понятия натурального числа. Конструктивисты считают только это понятие интуитивно очевидным и признают доказанными лишь те утверждения, которые могут быть выведены (сконструированы) с помощью натуральных чисел за конечное число шагов. Особую осторожность конструктивисты проявляют в операциях с бесконечными множествами. Они, например, отказываются признать закон исключенного третьего применительно к таким множествам. Поясним это на примере.

Рассмотрим последовательность так называемых простых чисел-близнецов, т.е. пар простых чисел вида (p, p+2): (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73), (101, 103), (107,109), (137, 139) ... ... ... ... ... ..., (1787, 1789), ..., (1871, 1873), ..., (1931, 1933), (1949, 1951), (1997, 1999), (2027, 2029), ... В середине XIX века было высказано предположение, что этот ряд продолжается бесконечно, но оно до сих пор ни доказано, ни опровергнуто. Более того, есть серьезные основания считать, что аксиоматические средства математики в принципе недостаточны для решения этого вопроса. Что же получается? Если руководствоваться законом исключенного третьего, то «в действительности» возможно одно из двух: либо эта последовательность бесконечна, либо она где-то обрывается. Но более чем вероятно, что мы никогда этого не узнаем, тогда какой смысл имеет существование (или несуществование) этой последовательности в недоступной для нас бесконечности? Похоже, что никакого, говорят интуитивисты, − закон исключенного третьего применительно к бесконечности не действует…

 
 
«Бертус» Брауэр, создатель интуиционизма как направления философской и математической мысли. 1910-е

Понять логику конструктивистов и то, как они обращаются с понятием бесконечности, не всегда легко даже специалистам. Их высказывания нередко выглядят парадоксально. Основоположник конструктивистского учения Лёйтзен Э́гберт Ян Бра́уэр пытался распространить свою теорию в научной среде, но сталкивался с упорным сопротивлением коллег-математиков. Многие упрекали его в иррациональном образе мыслей, одностороннем представлении о математике, основанном исключительно на интуиции. Вместе с тем, нельзя было не признать гениальной одаренности Брауэра, который оказал огромное влияние на современное математическое мышление.

Конечно, большинство математиков вообще не интересуются подобными теоретическими вопросами, многие даже не слышали о них. Они, как правило, занимаются конкретными математическими задачами и нередко достигают весьма значительных научных результатов. Между тем различные подходы к философскому обоснованию математики породили очень серьезные последствия, значимые даже для математической «повседневности». Идейные разногласия теоретиков не были беспочвенной демагогией, их взрывчатая сила была очевидна для всех ученых, которые всерьез относились к своей профессии.

При подготовке этого материала были использованы сайты
http://www.hirnwindungen.de/mathe/hirn_philo_math.html
http://www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/istmat1.djvu

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
© "YOS" 2010-2011
ИНТМЕДИА