Сентябрь 2017
 
Email

Аксиоматический метод

 
Опубликовано 28.06.2010
 
 
Египетские и вавилонские математики делали свои расчеты с практической целью. Они думали лишь о том, как достичь результата. Греческих мыслителей интересовал другой вопрос: почему дело обстоит именно так, а не иначе? Чтобы объяснить сложное, они ссылались на более простое и шаг за шагом, следуя законам логики,  доходили до самых «простых» начал. И наоборот: из простых начал логически выводили сложные утверждения.
 
 
Академия Платона. Мозаика виллы Т. Симиния Стефана, Помпеи. Нач. I в. до н.э. Национальный археологический музей, Неаполь

Платон, самый авторитетный мыслитель античности, придавал математике огромное значение, он даже запретил посещать свою знаменитую Академию молодым людям, не знавшим геометрии.

Ученики Платона первыми поняли абстрактный характер математических объектов. Они очень ясно отличали реальный мир от мира идей. Реальные предметы, которые мы воспринимаем органами чувств, подвержены изменением, но математические модели этих предметов постоянны и универсальны. Античные философы искали истину в мире идей. Они хотели познать то, что было, есть и будет всегда, а не то, что возникает и исчезает с течением времени. Их интересовали свойства идеального круга, а не расходящиеся круги на воде.

Египетские и вавилонские мыслители воспринимали геометрические объекты чувственно. Для них утверждения «куб сделан из шести квадратов» и «куб сделан из дерева» звучали примерно одинаково. Греки представляли все совершенно иначе. Когда Фалес писал, что любой вписанный угол, опирающийся на диаметр круга, – обязательно прямой, он пренебрегал тем, из чего сделан этот круг – из твердого материала или начерчен на песке.

Греческая математика, отрешенная от физического мира, выработала особый тип доказательства: физический опыт во внимание не принимался, надежными считались лишь утверждения, доказанные ранее. Они-то и использовались для дальнейших умозаключений. Например, доказательство упомянутой теоремы Фалеса опиралось на то, что соответственные углы всегда равны и т.д. Но процедура редукции (сведения сложного к простому) не могла продолжаться до бесконечности. В конце концов мысль упиралась в такие положения, которые доказательства не имели. Их назвали аксиомами, или постулатами. Евклид в своей книге «Начала» построил на нескольких аксиомах все здание известной в те времена математики. Он сформулировал эти аксиомы как нечто очевидное и потому не требующее доказательств.

Но вот беда: если первые четыре аксиомы (постулата) оказались ясными и краткими, то пятая, о параллельных прямых, выглядела не совсем убедительно и формулировалась не очень просто. В течение многих столетий выдающиеся математики пытались вывести ее из остальных аксиом – но безрезультатно. И лишь в XIX веке Гаусс, Лобачевский и Бойяи независимо друг от друга смогли показать, что существуют – и имеют глубокий математический смысл – другие, неевклидовы геометрии, в которых эта аксиома не соблюдается.

В самом начале своей книги Евклид сформулировал определения основных геометрических понятий – точки («точка – это то, что не имеет частей»), прямой, плоскости и т.д.  В дальнейшем тексте он больше не вспоминал об этих объектах, поскольку хотел лишь дать читателю точное представление о них, чтобы в дальнейшем не возникало никаких разночтений.

 
 
Фрагмент из II книги «Начал» Евклида. Папирус найден в египетском городе Оксиринхе в 1896-1897 годах. I в. Университет Пенсильвании, Филадельфия

Между тем касательно «основных» определений появилось и другое мнение. Ученые стали придавать значение не столько самим математическим объектам, сколько соотношениям между ними и тем операциям, которые можно над ними произвести. При таком подходе определения сами выводятся из более простых (в пределе – элементарных) математических понятий. Например: «окружность есть абстрактное геометрическое место точек, удаленных от произвольной точки Р на одинаковое расстояние r». Аналогичным образом можно было бы препарировать термин «расстояние» – и так далее. Теперь, вообще говоря, можно было всюду в математических текстах заменить слово «окружность» его определением.

Гильберт, а за ним и другие математики истолковали систему аксиом как своеобразную языковую игру. Математические предметы почти перестали что-либо значить, все они свелись к определениям, т.е. к некоторым «правильно построенным» предложениям. Главное, чтобы эти предложения были безупречны с точки зрения «математической грамматики». Вместо слов «точка», «прямая», «плоскость» в принципе можно было бы сказать: «стол», «стул», «пивная кружка» – лишь бы в математических предложениях были соблюдены начальные аксиомы и логические правила вывода. Сами предметы теперь определялись через аксиомы, т.е. в конечном счете через отношения к другим предметам.

Новое мышление открывало новые аспекты математики. Некоторые математические объекты обрели «напарников». Так, если в аксиомах точку заменить прямой, то все утверждения, верные для точки, окажутся верными и для прямой: две точки задают единственную прямую, две прямые (пересекаясь) задают единственную точку… Если говорить о параллельных прямых, то в рамках евклидовой геометрии точка их пересечения считается фиктивной и бесконечно удаленной, но все же остается «точкой».  Отталкиваясь от мысли греков, математики пошли дальше: стали строить все новые и новые модели, т.е. системы, отвечающих изначальному избранному набору аксиом, при этом все полученные модели обладали описанной выше дуальностью (т.е. двойственностью).

В сложившихся условиях пришлось внести некоторые языковые уточнения. Теперь нужно было различать между «истинным» и «правильным», или доказанным.

 
 
Дощечка с именем Евклида. Фрагмент картины Дж. де Барбарини «Портрет о. Луки Пачоли и неизвестного юноши». 1500-е. Национальный музей Каподимонте, Неаполь

Если Евклид считал свои теоремы истинными, то современный математик назовет их лишь правильными, т.е. доказанными, признавая тем самым, что они корректно выведены из аксиом. Проверка математических утверждений на истинность потеряла в математике всякий смысл. Судить об этом теперь предоставили философии.

Набор аксиом, лежащий в основе математической системы, должен обладать тремя свойствами – непротиворечивости, полноты и независимости.

Независимость означает, что все аксиомы независимы друг от друга. Нельзя допустить, чтобы какая-нибудь из них могла быть доказана с помощью других. Такая аксиома теряет свой аксиоматический статус и превращается в обычное математическое утверждение, т.е. теорему. Этим требованием число аксиом сводится к минимуму.

Непротиворечивость означает, что из одного и того же набора аксиом нельзя одновременно вывести какое-либо утверждение и его отрицание. Логика утверждает, что каждое утверждение либо верно, либо неверно – «третьего не дано». Внутренне противоречивая теория бесполезна, потому что из нее можно вывести все что угодно.

Если непротиворечивость гарантирует, что нельзя одновременно вывести утверждение «А» и «не-А», то полнота означает о том, что с помощью данной системы аксиом всегда можно ответить, какое из двух противоречащих друг другу утверждений верно. Иными словами, аксиом должно быть достаточно, чтобы судить о правильности любого утверждения. (Разумеется, речь идет лишь об утверждениях, «имеющих отношение к делу». Из аксиом о натуральных числах нельзя вывести ни возраст, ни рост математика.)

Аксиоматический опыт математики не прошел бесследно для других наук. Физика – как классическая, так и современная – строит себя на основании постулатов. В свое время на тот же путь ступила и философия. Так, Спиноза разработал систему аксиом в области этики и вывел из этих аксиом многие этические нормы.

При подготовке этого материала были использованы сайты
http://www.hirnwindungen.de/mathe/hirn_philo_math.html
http://www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/istmat1.djvu

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
© "YOS" 2010-2011
ИНТМЕДИА